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數(shù)列綜合應(yīng)用
縱觀近幾年的成人高考,在解答題中,有關(guān)數(shù)列的試題出現(xiàn)的頻率較高,不僅可與函數(shù)、方程、不等式、復(fù)數(shù)相聯(lián)系,而且還與三角、立體幾何密切相關(guān);數(shù)列作為特殊的函數(shù),在實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用,如增長率,減薄率,銀行信貸,濃度匹配,養(yǎng)老保險(xiǎn),圓鋼堆壘等問題.這就要求同學(xué)們除熟練運(yùn)用有關(guān)概念式外,還要善于觀察題設(shè)的特征,聯(lián)想有關(guān)數(shù)學(xué)知識和方法,迅速確定解題的方向,以提高解數(shù)列題的速度.
●難點(diǎn)磁場
(★★★★★)已知二次函數(shù)y=f(x)在x= 處取得最小值- (t>0),f(1)=0.
(1)求y=f(x)的表達(dá)式;
(2)若任意實(shí)數(shù)x都滿足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1[g(x)]為多項(xiàng)式,n∈N*),試用t表示an和bn;
(3)設(shè)圓Cn的方程為(x-an)2+(y-bn)2=rn2,圓Cn與Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列,記Sn為前n個(gè)圓的面積之和,求rn、Sn.
●案例探究
[例1]從社會效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā),某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè),并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè),根據(jù)規(guī)劃,本年度投入800萬元,以后每年投入將比上年減少 ,本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元,由于該項(xiàng)建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用,預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加 .
(1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元,旅游業(yè)總收入為bn萬元,寫出an,bn的表達(dá)式;
(2)至少經(jīng)過幾年,旅游業(yè)的總收入才能超過總投入?
命題意圖:本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識;考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力,本題有很強(qiáng)的區(qū)分度,屬于應(yīng)用題型,正是近幾年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)題型,屬★★★★★級題目.
知識依托:本題以函數(shù)思想為指導(dǎo),以數(shù)列知識為工具,涉及函數(shù)建模、數(shù)列求和、不等式的解法等知識點(diǎn).
錯解分析:(1)問an、bn實(shí)際上是兩個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和,易與“通項(xiàng)”混淆;(2)問是既解一元二次不等式又解指數(shù)不等式,易出現(xiàn)偏差.
技巧與方法:正確審題、深刻挖掘數(shù)量關(guān)系,建立數(shù)量模型是本題的靈魂,(2)問中指數(shù)不等式采用了換元法,是解不等式常用的技巧.
解:(1)第1年投入為800萬元,第2年投入為800×(1- )萬元,…第n年投入為800×(1- )n-1萬元,所以,n年內(nèi)的總投入為
an=800+800×(1- )+…+800×(1- )n-1= 800×(1- )k-1
=4000×[1-( )n]
第1年旅游業(yè)收入為400萬元,第2年旅游業(yè)收入為400×(1+ ),…,第n年旅游業(yè)收入400×(1+ )n-1萬元.所以,n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為
bn=400+400×(1+ )+…+400×(1+ )k-1= 400×( )k-1.
=1600×[( )n-1]
(2)設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入,由此bn-an>0,即:
1600×[( )n-1]-4000×[1-( )n]>0,令x=( )n,代入上式得:5x2-7x+2>0.解此不等式,得x< ,或x>1(舍去).即( )n< ,由此得n≥5.
∴至少經(jīng)過5年,旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.
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